Mécanique des collisions élastique avec un paramètre d’impact non nul

Démonstration de la formule classique de collision élastique entre deux particules, dont l’une est immobile (m2).

elastic collision
On conserve la quantité de mouvement sur les axes x et y, en projetant sur les axes suivant les angles de déviation dans l’état final :

momentum1

On obtient une autre égalité en conservant l’énergie cinétique totale du système.

momentum2

 Le reste du développement suit, avec cos²a+sin²a=1 :

momentum3

On obtient finalement l’énergie cinétique maximale transférable à la cible (m2).

momentum4

 Et si m1=m2 (cas d’une diffusion neutron-proton ou proton-proton par exemple),

m&m2

Angle de séparation et énergie cinétique à l’issu d’ une collision élastique non frontal entre deux particules de même masse

Considérons le schéma tout en haut de la page. On a m1=m2=m. Cette démonstration à pour but de spécifier l’angle de diffusion totale (θ+Φ) entre les particules et l’énergie cinétique de celles ci après le choc.

p1x et p2x représente la quantité de mouvement de la particule 1 et 2 sur l’axe x. p’ est la quantité de mouvement après le choc. pix et piy représentent les momentum à l’état initial, et pfx et pfy les momentum à l’état final. La quantité de mouvement totale ainsi que l’énergie cinétique totale se conserve dans le cas des collisions élastiques.

momentum conservation

En conservant la quantité de mouvement on obtient deux équations :

momentum conservation2

 La conservation de l’énergie cinétique totale donne l’équation suivante :

kinetic

On élève au carré les membres des équations portant sur la conservation des momentum :

equ1

On somme ces deux équations :

equ2

Or nous avons vu d’après la conservation de l’énergie cinétique que :

kinetic

ce qui implique que :

equal0

Ce terme peut devenir nulle si :

  • v1 = 0 , ce qui est le cas s’il s’agit d’une collision frontale (b=0). La particule incidente s’arrête et transfert sa quantité de mouvement à la cible (cas du « carreau de pétanque »).
  • v2 = 0, pas de collision
  • cos (θ+Φ)=0 ce qui implique que l’angle de séparation entre les particules θ+Φ=90°

Dans le dernier cas, si l’on reprend l’expression de l’énergie cinétique transféré à la particule cible :

Kinetic-energy1

θ+Φ=90° alors Φ=45°, en injectant cette valeur dans l’équation ci dessus avec m1=mon obtient :

KE2En terme de vitesse, v2=0,7 v1