Perte d’énergie des particules chargées dans la matière

Nous avons vu précédemment qu’une particule passant prés d’un électron atomique lui cède l’énergie ΔE suivant l’équation suivante :

particle loss

En intégrant cette formule par rapport au paramètre d’impact et en prenant en compte la densité d’électron dans un matériau donné (et en ajoutant quelques corrections quantique), on obtient la perte d’énergie linéique de la particule dE/dx (en MeV/cm). Le dE/dx correspond à la perte d’énergie subit par la particule incidente suite aux multiples collisions inélastiques avec les électrons atomiques rencontrés au cours de sa trajectoire (les pertes d’énergie de la particule par les collisions avec les noyaux sont beaucoup moins probable et seule les pertes avec les électrons sont considérées par cette équation).

particle loss

N: nombre d’Avogadro   r: rayon de l’électron  me : masse de l’électron   c : vitesse de la lumière  ρ : masse volumique du matériau  Z : numéro atomique du matériau  Z1 : charge de la particule incidente   A : masse molaire du matériau  Tmax : énergie maximum transférable à un électron lors d’une collision frontale avec la particule (« head on »)  I : énergie moyenne d’excitation du milieu absorbant. Le signe « – » signifie une perte d’énergie pour la particule.

Cette équation a été proposée par Bethe en 1932. La formule est valable pour une particule incidente de 0,1<βγ=p/mc<1000. A plus haute énergie, il faut prendre en compte les pertes radiative (Bremsstrahlung, important pour les électrons) voir nucléaire (collisions élastiques avec les noyaux du milieu qui recule sous l’impact de la particule incidente, cette contribution est importante pour les particules lourdes à basse énergie).

Pour un matériau donné on peut écrire que la perte d’énergie d’une particule dépend essentiellement de sa charge et de sa vitesse (a est une constante) :

bethedE

La courbe de perte d’énergie par collision inélastique dans l’air de différentes particules, calculée à partir de l’équation de Bethe (les pertes radiatives ne sont pas prise en compte). A partir de 100 MeV, les pertes radiatives dépassent les pertes collisionnelles pour un électron : la courbe indiquée pour cette particule n’est plus bonne. Les particules lourdes sont soumises aux pertes radiative seulement à très haute énergies.

 

La courbe ci contre à été calculée à partir de l’équation de Bethe dans l’air pour des particules de masses différentes. Lorsque la vitesse de la particule est faible (< 10 MeV pour des muons sur la courbe), on constate que la perte d’énergie de la particule est linéaire et est proportionnel à Z²/v² , Z étant la charge de la particule et v sa vitesse. Cette proportionnalité n’est valable que jusqu’à une énergie limite qui correspond au minimum d’ionisation de la particule (environ 2 keV/cm dans l’air). Pour un proton, la dépendance en Z²/v² de la perte d’énergie est valable jusqu’à 100 MeV, pour les alpha, jusqu’à 1000 MeV.

Cette proportionnalité en Z²/v² couvre une large gamme d’énergie ce qui permet de discriminer des particules à partir de la mesure de leurs pertes d’énergie dans la matière. Dans la chambre à brouillard, la perte d’énergie se matérialise par la formation des ions ce qui se traduit par une densité en gouttelettes plus ou moins importante suivant le nombre d’ions créés  : la trace d’une particule perdant beaucoup d’énergie sera plus dense en gouttelettes que celle d’une particule perdant moins d’énergie.

La proportionnalité en Z²/v² permet d’identifier la direction de déplacement de la particule. En effet, lorsque la particule se déplace dans la matière, elle perd peu à peu de son énergie à mesure qu’elle rencontre des électrons atomiques. Sa vélocité diminue, et le rapport dE/dx ≈ Z²/v²  indique que le dE/dx augmente fortement à mesure que v diminue : dans un tracé, la présence d’une large densité (donc une grande ionisation) indique la fin de la trajectoire de la particule car sa vitesse y est très lente c’est le pic de Bragg.

bragg peak

Différence de densité sur le parcours d’une particule alpha. En haut de la trajectoire, le contraste est maximale indiquant que beaucoup de gouttelettes ont été crée.

L’image ci dessus illustre le phénomène. On observe une particule alpha et un électron. Si l’on s’intéresse à la particule alpha, on constate que la densité d’ionisation est plus forte en haut de l’image, le dE/dx y est donc plus important. La particule alpha s’est donc dirigée du bas de l’image vers le haut. L’accroissement soudain d’ionisation correspond au pic de Bragg.

bragg peak2

Quantité d’ionisation d’une particule alpha par rapport à son parcours. La particule est émise a l’origine de l’abscisse.

La courbe ci contre illustre la densité d’ionisation laissée par une particule alpha dans l’air en fonction de son parcours. Vers les derniers centimètres de son parcours, elle dépose énormément d’énergie en une faible distance, c’est le pic de Bragg.

Cet effet est utilisé en radiothérapie pour traiter les tumeurs, en les

bragg radiotherapy

bombardant avec des ions. En connaissant la distance de la tumeur dans les tissus, on s’arrange pour que les ions (protons) déposent le maximum d’énergie dans la tumeur via le pic de Bragg, sans trop irradier les tissus sains en amont de la cible (image de droite).

On peut préciser qu’il est très difficile d’observer un pic de Bragg sur le parcours d’un électron. Le pic n’apparaît que lorsque l’électron à une énergie inférieur à 1 keV ce qui correspond à un tracé d’une longueur d’une centaine de micromètre, difficile de détecter.

dedx_tpc2

Perte d’énergie de diverses particules mesurée dans un gaz par la Time Projection Chamber du detecteur ALICE au LHC

En observant la courbe du dE/dx, on constate que même si deux particules ont une masse différente (par exemple un kaon et un proton), celles ci perdront la même quantité d’énergie dans la matière lorsqu’elles auront atteint chacune une vitesse déterminée : c’est le minimum d’ionisation. Un Kaon (masse 493 MeV/c²)  ayant un momentum de 0,8 GeV/c (soit Ec=446 MeV avec v=0,85c) perdra la même quantité d’énergie (environ 100 dE/dX en unité arbitraire sur la courbe) qu’un proton (masse 938 MeV/c²) de 2 GeV/c (Ec= 1,2 GeV, avec v=0,9c).

La perte d’énergie linéique est proportionnel au carré de la charge de la particule. A vitesse égale, une particule alpha perd 4 fois plus d’énergie qu’un proton. Mesurer la densité d’ionisation d’une trace permet donc de remonter à sa charge comme illustré dans l’image ci dessous  (on considère que les vitesses de ces noyaux cosmiques sont sensiblement égales en étant relativiste).

Loss particle plate

Noyaux cosmiques traversant des plaques à émulsion en très haute altitude. Ces noyaux sont chargés suivant leur Z. Lorsqu’un de ces noyaux traverse la plaque à émulsion, ils ionisent les cristaux de bromure d’argent ce qui libère de l’argent métallique là où l’énergie de la particule a été déposée. La trace de la particule est donc matérialisée dans ce milieu solide, et plus il y a d’ions d’argent formés, plus la particule a déposée d’énergie. Un noyau d’Hydrogène est chargé une fois ce qui laisse une trace peu visible. Un noyau d’Helium (alpha) chargé +2 créera 4 fois plus d’ions argent que l’Hydrogène. Un noyau de Fer crée une trace 676 fois plus dense (26²) qu’un proton. Ces noyaux proviennent de la galaxie et bombardent les hautes couches de l’atmosphère, environ 90% des noyaux sont de l’Hydrogéne, 9% des noyaux d’Helium, le reste est constitué des noyaux composant l’intégralité du tableau périodique.

bethe

Les pertes radiatives pour les muons et pions ne sont pas prises en compte

Si l’on s’intéresse aux variables de l’équation de Bethe, on constate que la perte d’énergie des particules lourdes dépend peu de la nature du matériau. En effet, le rapport Z/A (cf formule) est à peu près égal à 0,5 pour une grande quantité d’éléments (exemple Aluminium Z=13 et A= 27 g/mol soit Z/A = 0,48 pour ρ=2,7 g/cm3  ;  Plomb Z=82 et A = 207 g/mol soit Z/A = 0,4 pour ρ=11,3 g/cm).

En traçant la courbe (ci-contre) 1/ρ dE/dx en fonction du βγ=p/Mc de la particule (p est le momentum, M la masse de la particule au repos) , on constate que la perte d’énergie dépend peu du matériau où circule la particule. On peut retenir que la perte d’énergie minimum est en approximation égale à 2 MeV.cm²/g pour une particule de charge Z1=1, et ce quelque soit la nature (solide, gaz, liquide) du matériau traversé.

Pour obtenir la perte d’énergie linéique de la particule en MeV/cm il faut prendre en compte la densité d’électrons rencontrés par la particule et donc multiplier par la densité du matériau la valeur obtenue des pertes en  MeV.cm²/g  . 

.

.

.

Exemple d’application :

Considérons un faisceau de pion d’énergie cinétique de 80 MeV traversant du carbone. Calculer l’épaisseur de carbone nécessaire pour stopper toutes les particules. Densité du carbone : 2,26. M(pion)=140 MeV. On définit E l’énergie totale de la particule, Ec l’énergie cinétique, p le momentum. On a E²=p²c²+M²c4  avec E0= Mc²

E=Ec+M soit E = 80 + 140 = 220 MeV.

βγ=p/Mc  avec p²c²=E²-E0² soit p²c²=220²-140² soit pc= 170 MeV

βγ=170/140=1,21 .    Sur la courbe précédente, on reporte la valeur du dE/dx correspondant à un βγ de 1,21 dans du carbone (si la courbe Carbone n’est pas présente, on aurait pris celle de l’Aluminium car on vient de voir que la perte d’énergie en MeV.cm²/g ne dépend que peu du matériau).  On obtient dE/dx (βγ=1,21) = 2 MeV.cm²/g   (environ).

Remarque : p=170 MeV/c = 0,17 GeV/c. La valeur du dE/dx s’obtient aussi avec l’abscisse en momentum du pion.

dE/dx (MeV/cm) = ρ (carbone) * 2 MeV.cm²/g = 2,26 g/cm* 2 = 4,5 MeV/cm

Chaque cm parcouru dans le carbone par la particule lui fait perdre 4,5 MeV d’énergie par collision inélastique avec les électrons du matériau. 18 cm de carbone suffit donc à stopper un faisceau de pion de 80 MeV d’énergie cinétique.

Les parcours des particules dans différents matériaux sont donnés sur cette page.

Perte d’énergie des particules lourdes par Bremsstrahlung

La physique du rayonnement de freinage est décrit ici.

La formule de Bethe n’est valide que pour une certaine gamme d’énergie (qui est très étendue et couvre toutes les énergies des particules rencontrées dans les chambres à brouillard). Cependant, pour β<0,05 (soit 1 MeV pour des protons) la formule n’est plus exacte et d’autres théories de perte d’énergie entrent en jeu comme le montre la courbe-ci dessous.

muon loss

Perte d’énergie des muons dans du cuivre. Tous les processus de perte sont indiqués. Les pertes radiatives  correspondent aux pertes par émission de rayonnement de freinage (les autres pertes comme l’émission Cerenkov ou les radiations de transition ne sont pas prises en compte, les pertes étant faibles). Pour obtenir la perte d’énergie linéique (MeV/cm) pour n’importe quel matériau il suffit de multiplier la courbe par la densité du matériau.

Sur la courbe, pour un βγ un peu inférieur à 100 GeV/c, la mention « radiative effects reach 1% » est présente. Cela signifie qu’à partir de cette énergie, les pertes radiative par Bremsstrahlung commencent à devenir non négligeables et atteignent 1% des pertes totales. Lorsque βγ=5000, Eμc est atteint (énergie critique muonique). Cela signifie qu’à cette énergie, les pertes par Bremsstrahlung sont égales aux pertes par collision inélastique calculées par l’équation de Bethe. Passé ce seuil, les pertes radiatives seront supérieures aux pertes collisionnelles.

Le Bremsstrahlung ou « rayonnement de freinage » est un rayonnement émis lorsqu’une particule est déviée de sa trajectoire par le champ électrostatique d’un noyau. En accélérant elle rayonne de l’énergie sous forme électromagnétique. La perte d’énergie par Bremsstrahlung pour une particule chargée s’exprime comme suit :

Bremsstrahlung

Les pertes radiatives sont plus importantes dans les matériaux denses (Z²) et avec des particules chargées plusieurs fois (z²)

L’effet n’est prédominant que pour de hautes énergies et est inversement proportionnel à la masse au carré de la particule. Si l’on compare la perte d’énergie par rayonnement de freinage à une énergie donnée pour un électron et un muon, le rapport de masse fait que le muon perd 43000 fois moins d’énergie par Bremsstrahlung.

Bremsstrahlung2

L’énergie critique se calcule suivant deux équations (milieu solide ou gazeux) :

critical energy

Energie critique des électrons et muons dans différents matériau. Dans l’air Z=7 (80% d’azote).

Dans l’air Ec = 102 MeV pour un électron (7,5 MeV dans le plomb) et Ec=960 GeV pour un muon. Pour décrire la totalité des pertes d’énergie par un électron, il faut prendre en compte les pertes par Bremsstrahlung, et ce dès les basses énergies.

Perte d’énergie des électrons par Bremsstrahlung

Le graphique ci-dessous illustre toutes les pertes possibles des électrons dans la matière. On reconnait la courbe de Bethe (« ionization ») et les pertes radiatives par Bremsstrahlung. Les autres processus d’interaction qui ne représentent qu’une faible perte d’énergie ne seront pas explicités (Moller, Bhabha).

Perte d’énergie des électrons dans du plomb par unité de radiation X0. L’énergie critique est de 7,43 MeV.

Les pertes radiatives augmentent rapidement car elles sont directement proportionnelles à l’énergie de la particule.  La longueur de radiation X0 en g/cm² est une constante calculée pour chaque matériau qui ne dépend pas de l’énergie de la particule. Au bout d’une longueur X0  (g/cm² /ρ = cm) parcourue par un faisceau de particule (électrons ou photons) :

  • les électrons ont perdu 1/e (37%) de leurs énergies initiales par Bremsstrahlung,
  • 63% des photons se sont convertis en paires e+,e- (après 9/7 X0).

Les longueurs de radiation pour tous les matériaux sont tabulés ici (dans l’air, X0=304 m). Ces valeurs sont valables pour les électrons/positons ainsi que les rayonnements gamma. Pour les autres particules (proton, pion, kaon, alpha, [sauf muons]…), on défini une autre valeur, la longueur nucléaire d’interaction (Nuclear interaction length) calculée à partir de section efficace d’interaction. Au bout d’une longueur nucléaire, le nombre de particules chargées a diminué d’un facteur 1/e. Les particules « manquantes » ont subit une interaction nucléaire inélastique (créant par exemple une cascade hadronique). La longueur moyenne d’interaction nucléaire dans l’air est de 750 m.

Les muons n’ont pas de longueur d’interaction nucléaire car ils n’interagissent pas avec la matière par le biais de l’interaction forte : ils ne peuvent faire de réaction nucléaire (spallation, cascade hadronique). Les pertes d’énergies des muons sont uniquement collisionnel (équation de Bethe) et radiatif à haute énergie. Il sont soumis à l’interaction faible et se désintègre en électrons ou positons suivant leur demie-vie. 

Autre processus de perte d’énergie des particules lourdes

Les hadrons (proton, pion, kaon, hypéron) ou les ions (particule alpha…) du fait de leur très grande masse, ne sont peu ou pas soumis aux pertes par Bremsstrahlung. Par contre, ils peuvent collisionner (via un vrai choc) sur un atome et faire une réaction nucléaire. Les probabilités d’interaction sont régies par les sections efficaces d’interaction nucléaire prenant en compte :

  • les collisions élastiques (avec conservation de l’énergie cinétique totale, exemple : diffusion d’un proton sur un proton, ou d’un alpha sur un noyau)
  • les collisions quasi-élastiques (excitation d’un noyau par le projectile résultant en une perte minime d’énergie cinétique)
  • les collisions inélastiques (non conservation de l’énergie cinétique, une partie de l’énergie de la particule est convertie en énergie interne dans la cible ce qui résulte en une spallation ou en la création de nouvelles particules).

Pour les deux premiers types de collisions, on défini la longueur de collision nucléaire λc, distance moyenne à partir de laquelle la particule réalise une collision élastique ou quasi-élastique. Dans l’air, la distance est de 508 m. Cette valeur est quasi indépendante de la nature de la particule.

nuclear interaction lenght

Pour les collisions inélastiques, on définit la longueur d’interaction nucléaire λn qui se calcule par  la formule ci-contre, avec A le numéro atomique du matériau. La longueur d’interaction en cm s’obtient en divisant le résultat par la masse volumique du matériau.

Dans l’air, cette distance est de 750 m, dans les solides, inférieur à 100 cm. On remarque que λnc car λne prend pas en compte les collisions élastiques et inélastiques. La portée d’un proton calculée à partir de l’équation de Bethe prenant en compte uniquement les pertes d’énergie par collision inélastique avec les électrons atomique est une portée théorique. En réalité, le proton aura probalement réalisé une interaction inélastique et aura perdu une grande ou la totalité de son énergie avant d’avoir parcouru la portée projeté par Bethe.

Exemple : un proton de 500 MeV à une portée maximum de 1095 m dans l’air avant qu’il ne perde toute son énergie par ionisation. Il faut rajouter les pertes par interaction nucléaire avec  λn=750 m, ce qui signifie qu’en traversant 750 m d’air, le proton a une probabilité de 1/e= 37% de ne pas avoir d’interaction avec un noyau. Donc, un proton de 500 MeV à 37% de chance de parcourir les 1095 m.

Les hadrons « malchanceux » percutant un noyau au cours de leur parcours créeront des spallations ou des cascades hadroniques.

Conclusion

Nous avons vu que les électrons perdent leurs énergie par collision inélastique avec les électrons du milieu (Bethe) mais aussi par émission de rayonnement de freinage. Les muons étant 207 fois plus lourd que les électrons, ils ont les mêmes processus de perte d’énergie que les électrons sauf que les pertes radiatives ne deviennent prépondérantes que pour de très hautes énergies. L’interaction des muons dans la chambre à brouillard fait l’objet d’un article séparé.

Les hadrons (proton, pion, kaon…) et les ions (particules alpha…) sont au moins 10 fois plus lourds que les muons. Ils ne subissent que très peu de pertes d’énergie par Bremsstrahlung. Comme toutes les particules chargées, la principale perte d’énergie se fait par ionisation/excitation des électrons du milieu décrit par l’équation de Bethe. A ces pertes, il faut rajouter la possibilité qu’ils fassent des interactions élastiques ou inélastiques avec les noyaux qu’ils rencontrent. Dans ce dernier cas, seules les particules soumises à l’interaction forte (particules constituées de quarks) peuvent faire de telles réactions, ce qui n’est pas le cas des muons qui sont des particules élémentaires soumis uniquement à l’interaction faible (il sont instables et se désintègrent).

A propos de la charge des noyaux

average charge of nucleus

Charge moyenne d’un alpha et d’un proton en fonction de leur énergie cinétique

Les protons et les particule alpha sont des noyaux et lorsqu’ils traversent la matière, ils ont tendance à capturer des électrons pour devenir des atomes d’hydrogène et d’hélium respectivement. Il en est de même pour les fragments nucléaire que l’on peut observer lors de spallation. Cette « capture électronique » ne se passe que lorsque les noyaux ont peu d’énergie cinétique. A mesure qu’un noyau se rapproche de l’électroneutralité, sa charge diminue et la perte d’énergie par ionisation proportionnel (pour des énergies pas trop faible) à z²/v² diminue et la traînée de condensation disparaît : le noyau est devenu un atome. L’effet peut se voir sur la photo ci dessous.

end of range of alpha diffusion

Fin de parcours d’une particule alpha dans une chambre à expansion sous 0,5 atm d’hydrogène, prise avec un objectif de microscope dans les années 30. Les pertes par ionisation diminuent à mesure que la particule alpha se rapproche de la neutralité (l’épaisseur de la trace diminue). On observe 2 changements de trajectoire suite à la diffusion de la particule sur des noyaux (phénomène dépendant de l’énergie de la particule)